曲率が運命を分ける―イェンセンの不等式と変動の意味（2025年11月）

曲率が運命を分ける―イェンセンの不等式と変動の意味（2025年11月）

イェンセンの不等式は、平均を取る順序によって結果が変わる非線形の特性を示す定理である。凸関数では E[f(X)] ≥ f(E[X])、凹関数では逆が成り立ち、変動性が結果に影響を及ぼすことを明らかにする。この不等式は、単純平均が現実を誤解する危険を教えるもので、特に金融や経済では重要な意味を持つ。例えば、対数関数の凹性により、複利成長率（時間平均）はボラティリティが高いほど減少する。いわゆる"ボラティリティ・ドラッグ"や「算術平均＞幾何平均」の関係は、この不等式の帰結である。また、凸関数では変動が期待値を押し上げ、凹関数では押し下げるため、どちらの「曲率」で世界を見ているかが、リスクの意味と報酬の実態を決定する。タレブはこれを「凸性を買い、凹性を売る」哲学として展開し、バー�
��ル戦略の理論的基礎に据えた。イェンセンの不等式は、単なる数学的事実ではなく、「形を設計する知恵」として、変動を味方にする反脆弱性の核心をなしている。